家豪教學網工科賽程式設計教學 113 年第一題

參考題型範例 - 全國高級中等學校技藝競賽平台工業類
題目：設計一連分數計算器
問題描述

在數學中,連分數(continued fraction)是特殊繁分數。如果 a₀，a₁，a₂ … a_n， … 都是整數，則將分別稱為無限連分數和有限連分數。可簡記為無項 a₀，a₁，a₂ … a_n … 和有限項  a₀，a₁，a₂ … a_n。一般一個有限連分數表示一個有理數，一個無限連分數表示一個無理數。簡單的連分數或繁分數即如圖一所示或表示為  a₀ + 1 / ( a₁ + 1 / ( a₂ + … ) ) ) ) 的數字，其中 a₀ 是某個整數，而所有其他的數 a_i 都是正整數, x 是有理數分數，凡是每一個有限簡單連分數都可以化為一個有理數分數，反之亦然。用符號表示〔a₀，a₁，a₂ … a_n] 叫做連分數的部分商。


例子1. 連分數〔1 , 2 , 3 , 4〕經由計算可經由底部向上乘逐步計算化簡為分數，過程如圖二所示：

$$ x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \cdots } } } $$

$$ \begin{equation} x = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{4}}} = 1 + \cfrac{1}{2+\cfrac{4}{13}} =1+\cfrac{13}{30}=\cfrac{43}{3} \end{equation} $$

例子2. 連分數〔4 , 2 , 5 , 5〕也可表示成運算式為 4 + 1 / ( 2+ 1 / ( 5 + 1 /5 ) ) ,其計算成為的分數過程由右向左計算如下:
4 + 1 / ( 2十1 / ( 5 + 1 / 5 ) ) = 4 + 1 / ( 2 + 5 / 26 ) = 4 + 26 / 57 = 254 / 57
請設計一程式能將有限項〔a₀，a₁，a₂，...，a_n〕之連分數計算出分數。

輸入說明：
讓使用者輸入有限項正整數 $[a_0, a_1, a_2, \cdots ,a_n]，1\le n\le 8$，也就是輸入項最多 9 項、最少 2 項，每一項的值介於 $1\le a_i\le 5$。

輸出說明：
輸出分數。

程式執行範例說明：

注意:

程式需可重複執行，字型大小至少 12。
程式的功能，要自己寫，不可以使用現成套件或程式庫。

範例一

程式碼下載

namespace _113_QQ1
{
    public partial class Form1 : Form
    {
        public Form1()
        {
            InitializeComponent();
        }

        private void Form1_Load(object sender, EventArgs e)
        {
            richTextBox1.Rtf = @"{\rtf1\ansi{\b {}}[a{\sub 0},a{\sub 1},a{\sub 2}, ... ,a{\sub n}]={\b }}";
        }

        private void computBtn_Click(object sender, EventArgs e)
        {
            try
            {
                // 讀取輸入並轉換為整數陣列
                var input = InputTbX.Text.Trim();
                var parts = input.Split(new[] { ',', ' ', '[', ']' }, StringSplitOptions.RemoveEmptyEntries);
                var numbers = parts.Select(int.Parse).ToArray();
                // 驗證輸入條件
                if (numbers.Length < 2 || numbers.Length > 9 || numbers.Any(x => x < 1 || x > 5))
                {
                    ansLab.Text = "輸入無效：請輸入 2 到 9 項，每項值為 1 至 5 的正整數。";
                    return;
                }
                // 計算連分數
                var result = ComputeContinuedFraction(numbers);
                // 顯示結果
                ansLab.Text = $"{result.Item1}/{result.Item2}";
            }
            catch (Exception ex)
            {
                ansLab.Text = "輸入格式錯誤，請確認輸入正確。";
            }
        }

        private (int, int) ComputeContinuedFraction(int[] numbers)
        {
            // 倒序計算分數
            int numerator = 1, denominator = 0;
            for (int i = numbers.Length - 1; i >= 0; i--)
            {
                int current = numbers[i];
                (numerator, denominator) = (denominator + current * numerator, numerator);
            }
            return (numerator, denominator);
        }
        private void clearBtn_Click(object sender, EventArgs e)
        {
            InputTbX.Text = string.Empty;
            ansLab.Text = string.Empty;
        }
    }
}